Uogólnienie zdań logicznych Gödla.

by Maciej Zasada

Kurt Gödel odkrył, że systemy formalne o wystarczającej potędze, pojemności i prostocie są albo niecałkowite, albo niespójne (uproszczenie).

Jeśli chodzi o arytmetykę, na której przykładzie Gödel przeprowadził swój dowód, to reguła ta uniemożliwia ostateczne wyprowadzenie jej podstaw z istniejących praw logiki (co w konsekwencji doprowadziło do spektakularnej katastrofy programu Hilberta) – powodem jest odkryta przez Gödla zależność, że w danym Systemie formalnym S zawsze istnieć będzie więcej prawdziwych argumentów, niż udowadnialnych w S twierdzeń.

Dialektyka.

Chcę tu wykazać, że odkryte przez Gödla zależności dotyczą także dialektyki i oznaczają, że w ramach dialektycznego systemu S istnieje zawsze więcej prawdziwych argumentów, niż udowadnialnych tez.

Jeśli więc posługując się niesprzeczną argumentacją uzupełniamy systemy o ich brakujące aspekty (a właśnie na tym polega mechanizm skutecznej argumentacji), to już przez to udowadniamy istnienie stojącej u podstaw tych systemów logicznej niezupełności. Jeśli więc wydaje się nam, że za pomocą skutecznej argumentacji jesteśmy w stanie kogoś do swoich racji przekonać, to trzeba wiedzieć, że udaje się to tylko dlatego, że wznosimy się w danym miejscu i czasie na lokalnie możliwe do osiągnięcia wyżyny argumentacji. Z uniwersalnego punktu widzenia nie osiągamy nic: wyżyny, o których mowa, nie mają bowiem ostatecznego wierzchołka – elementy, z których składa się nasza argumentacja należą do zbioru o nieskończonej liczbie elementów (czyli najwyższych, po sobie następujących „wierzchołków”). Każda skutecznie przeprowadzona argumentacja jest zatem dowodem logicznej niezupełności jej przedmiotu…oto niewesoły wniosek wypływający bezpośrednio z dowodów Gödla. Oznacza on absolutny koniec wszelkich złudzeń co do osiągnięcia ostatecznej, definitywnej „prawdy” w ramach obowiązującej dialektyki.

Teza: jeśli posługując się spójną argumentacją dochodzimy do pewnych prawdziwych wniosków, to wnioski te nie są nigdy ostateczne, gdyż liczba możliwych do wykorzystania (skutecznych) argumentów jest zawsze i w odniesieniu do każdego przedmiotu dyskusji, nieskończona…(patrz poniżej: twierdzenie niezupełności).

Dowód: jeśli liczba dowodzących argumentów w obrębie systemu S ma być zawsze większa od liczby udowadnialnych twierdzeń, to ich ogólna liczba w S musi być nieskończona. Jeśli bowiem liczba takich argumentów miałaby być skończona i wynosić n elementów, to ich liczba nie mogłaby być zawsze większa od liczby udowadnialnych twierdzeń wewnątrz systemu. Słówko „zawsze” przesądza tu o nieskończoności zbioru n.

Stwierdzam więc prawdziwość postawionej tezy. Jeśli liczba skutecznych argumentów w S ma być zawsze większa od liczby n udowadnialnych twierdzeń, to liczba argumentów w S musi być nieskończona (i wynosić w każdych okolicznościach: n+1). QED

Fakt ten determinuje uzupełnialność systemu S w każdych okolicznościach, a ta z kolei determinuje jego niezupełność.

Uogólnienie zdań Gödla (1931).

Z uniwersalnej perspektywy błąd Kurta polega więc na tym, że w jego zdaniach nie chodzi o „potęgę” systemów formalnych (w oryginale: „Mächtigkeit”), a o ich zasięg: Wszystkie sformułowania, które (lokalnie) wydają się być zupełne i spójne, są z uniwersalnego punktu widzenia albo niespójne, albo niezupełne, przy czym jeśli zakładamy lokalnie ich zupełność, okazują się niespójne, a jeśli zakładamy lokalnie ich spójność, okazują się niezupełne…Perspektywą z której wynika prawdziwość zdań Gödla nie jest więc w pierwszej linii potęga systemu S, a stosunek perspektyw: tej lokalnej do tej uniwersalnej i odwrotnie.

To jedyny, wydawać by się mogło, nic nie znaczący „błąd” w ocenie wniosków i autorskiej interpretacji „zdań” Gödla. Ma on jednak fundamentalne znaczenie, gdyż zdania te obowiązują od teraz nie tylko lokalnie, w odniesieniu do teorii liczb (arytmetyki), a uniwersalnie – dotyczą logiki. Odnoszą się one teraz z jednej strony do partykularnej lokalności, z drugiej do uniwersalnego Absolutu. Reguły Gödla zależą zatem nie od tego, czy dany system S jest wystarczająco potężny i prosty, by go dotyczyły, a od tego, czy S to system obserwowany z lokalnego, czy z uniwersalnego punktu widzenia. Lokalnie zarówno perspektywa, jak i liczba dostępnych argumentów są ograniczone, a formalne systemy wystarczająco proste, by były postrzegane jako logicznie spójne. Domknięty na ostatni guzik, prosty, całkowity i spójny system argumentów może zatem istnieć tylko lokalnie. Zdania Gödla mówią o tym, że każdy taki system jest z uniwersalnego punktu widzenia niestabilny: nieudowadnialny, niecałkowity lub niespójny. Reguły Gödla mówią więc o prawdzie ostatecznej – o prawdzie uniwersalnej, obowiązującej w kontekście Absolutu. Dlatego są dla mnie tak ciekawe.

Twierdzenie niezupełności – zawsze będzie istniało więcej prawdziwych twierdzeń, niż tych, których prawdziwości da się lokalnie dowieść.

Twierdzenie niedowodliwości – zawsze istnieją zdania wyrażone językiem systemu S, których prawdziwości nie da się w ramach S (czyli lokalnie) ani obalić ani udowodnić.

Twierdzenie nieostateczności: w obrębie każdego dialektycznego systemu istnieje zawsze więcej prawdziwych argumentów, niż uprawomocnionych nimi twierdzeń (dlatego dyskusje nigdy się nie kończą: dlatego nie istnieją ani definitywne argumenty, ani ostateczne prawdy).

Istnieje natomiast problem uniwersalnej wartości zdań: zdania obowiązujące uniwersalnie są nieuzupełnialne. Zdania uzupełnialne (dopuszczające możliwość interpretacji, argumentacji, czy relatywizacji znaczenia) nie mają uniwersalnej wartości – zdania te są de facto fałszywe.

Dowód (jak wyżej): Zdania logicznie zupełne są per definitionem nieuzupełnialne.

Tylko zdania logicznie niezupełne mogą być uzupełnione (interpretacją/argumentacją)…to proste jak drut. QED

Wszystkie systemy dialektyczne, które wydają się lokalnie logicznie zupełne, są z uniwersalnego punktu widzenia logicznie niecałkowite.

Uniwersalna zupełność systemów dialektycznych – determinuje lokalnie ich wzajemną sprzeczność.